数量关系专题精讲--不定方程（二）
数量关系专题精讲--不定方程（二）
二、奇偶特性
【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )
A.36 B.37
C.39 D.41
【答案】D
【解析】设每位钢琴老师带x人，拉丁老师带y人，由题意有5x+6y=76，题目所要求的是4x+3y=?。要想求出目前培训中心还剩下学员多少人，必须通过不定方程5x+6y=76将x、y解出。此题无法像上一题一样直接代入，那么可以用奇偶特性来求解。6y是偶数，76是偶数，由奇偶特性可知5x必然为偶数，所以x必为偶数。题目要求每位老师所带的人数是质数，既是偶数又是质数的数字只有2。因此x=2，y=11。于是现在有4×2+3×11=41人。因此，本题答案为D选项。
【点睛】利用奇偶特性解不定方程，应先将可以确定是奇数还是偶数的确定下来，然后根据奇偶特性“同类为偶，异类为奇”将剩下的奇偶性确定下来，再配合题目中对数值的特殊要求，将未知数的数值定下来，若是题目没有特殊的要求，就从小往大尝试到满足都是整数即可。
三、尾数法
【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )
A.3 B.4
C.7 D.13
【答案】D
【解析】设大盒x个，小盒y个，则由题意有12x+5y=99。此题可以用奇偶特性求解，先确定99为奇数、12x为偶数，根据奇偶特性可知5y为奇数，则y为奇数。尝试当y=3时，x=7，但题目中有一特殊条件“共用了十多个盒子刚好装完”，所以这组解要舍掉。再继续尝试，试到y=15时，x=2，这组解是正解。所以两种包装盒相差15-2=13个。因此，本题答案为D选项。
会发现此题用奇偶特性求解会比较麻烦，需要尝试很多次，那么试着用尾数法来求解。5y的尾数只能是0或5，可知12x的尾数是9或4，但12x是偶数，其尾数不可能是9，所以可知12x的尾数为4。因此x=2或x=7，代入可得当x=2时y=15;当x=7时y=3，x+y=10，不合题意，舍去。解答起来会简单很多。
【点睛】尾数法需在不定方程有特殊系数时才能使用，如系数以 0或5结尾时。
希望大家努力学好这一问题，掌握解题思路，在练习中逐渐熟练，在考试中必是提速加分，取得好成绩的保障!
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二、奇偶特性
【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )
A.36 B.37
C.39 D.41
【答案】D
【解析】设每位钢琴老师带x人，拉丁老师带y人，由题意有5x+6y=76，题目所要求的是4x+3y=?。要想求出目前培训中心还剩下学员多少人，必须通过不定方程5x+6y=76将x、y解出。此题无法像上一题一样直接代入，那么可以用奇偶特性来求解。6y是偶数，76是偶数，由奇偶特性可知5x必然为偶数，所以x必为偶数。题目要求每位老师所带的人数是质数，既是偶数又是质数的数字只有2。因此x=2，y=11。于是现在有4×2+3×11=41人。因此，本题答案为D选项。
【点睛】利用奇偶特性解不定方程，应先将可以确定是奇数还是偶数的确定下来，然后根据奇偶特性“同类为偶，异类为奇”将剩下的奇偶性确定下来，再配合题目中对数值的特殊要求，将未知数的数值定下来，若是题目没有特殊的要求，就从小往大尝试到满足都是整数即可。
三、尾数法
【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )
A.3 B.4
C.7 D.13
【答案】D
【解析】设大盒x个，小盒y个，则由题意有12x+5y=99。此题可以用奇偶特性求解，先确定99为奇数、12x为偶数，根据奇偶特性可知5y为奇数，则y为奇数。尝试当y=3时，x=7，但题目中有一特殊条件“共用了十多个盒子刚好装完”，所以这组解要舍掉。再继续尝试，试到y=15时，x=2，这组解是正解。所以两种包装盒相差15-2=13个。因此，本题答案为D选项。
会发现此题用奇偶特性求解会比较麻烦，需要尝试很多次，那么试着用尾数法来求解。5y的尾数只能是0或5，可知12x的尾数是9或4，但12x是偶数，其尾数不可能是9，所以可知12x的尾数为4。因此x=2或x=7，代入可得当x=2时y=15;当x=7时y=3，x+y=10，不合题意，舍去。解答起来会简单很多。
【点睛】尾数法需在不定方程有特殊系数时才能使用，如系数以 0或5结尾时。
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