二以函数的概念与图像
二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
4、二次函数的解析式（10~16分）
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
注意：抛物线位置由决定．
(1)决定抛物线的开口方向
①开口向上．
②开口向下．
(2)决定抛物线与y轴交点的位置．
①图象与y轴交点在x轴上方．
②图象过原点．
③图象与y轴交点在x轴下方．
(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)
①同号对称轴在y轴左侧．
②对称轴是y轴．
③异号对称轴在y轴右侧．
(4)顶点坐标．
(5)决定抛物线与x轴的交点情况．、
①△>0抛物线与x轴有两个不同交点．
②△=0抛物线与x轴有的公共点(相切)．
③△<0抛物线与x轴无公共点．
(6)二次函数是否具有大、小值由a判断．
①当a>0时，抛物线有低点，函数有小值．
②当a<0时，抛物线有高点，函数有大值．
（7）的符号的判定：
表达式，请代值，对应y值定正负；
对称轴，用处多，三种式子相约；
轴两侧判，左同右异中为0；
1的两侧判，左同右异中为0；
-1两侧判，左异右同中为0.
（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。
（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。
（10）结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0；
②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；
③二次函数(经过原点，则。
（11）二次函数的解析式：
①一般式：(，用于已知三点。
②顶点式：，用于已知顶点坐标或值或对称轴。
（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。
5、二次函数的值（10分）
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得大值（或小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
6、二次函数的性质
二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y
0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有低点，当x=时，y有小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有高点，当x=时，y有大值，
7、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
8、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
1、二次函数的概念
一般地，如果，那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
4、二次函数的解析式（10~16分）
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
（2）顶点式：
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。
注意：抛物线位置由决定．
(1)决定抛物线的开口方向
①开口向上．
②开口向下．
(2)决定抛物线与y轴交点的位置．
①图象与y轴交点在x轴上方．
②图象过原点．
③图象与y轴交点在x轴下方．
(3)决定抛物线对称轴的位置(对称轴：)
①同号对称轴在y轴左侧．
②对称轴是y轴．
③异号对称轴在y轴右侧．
(4)顶点坐标．
(5)决定抛物线与x轴的交点情况．、
①△>0抛物线与x轴有两个不同交点．
②△=0抛物线与x轴有的公共点(相切)．
③△<0抛物线与x轴无公共点．
(6)二次函数是否具有大、小值由a判断．
①当a>0时，抛物线有低点，函数有小值．
②当a<0时，抛物线有高点，函数有大值．
（7）的符号的判定：
表达式，请代值，对应y值定正负；
对称轴，用处多，三种式子相约；
轴两侧判，左同右异中为0；
1的两侧判，左同右异中为0；
-1两侧判，左异右同中为0.
（8）函数图象的平移：左右平移变x，左+右－；上下平移变常数项，上+下-；平移结果先知道，反向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。
（9）对称：关于x轴对称的解析式为，关于y轴对称的解析式为，关于原点轴对称的解析式为，在顶点处翻折后的解析式为（a相反，定点坐标不变）。
（10）结论：①二次函数(与x轴只有一个交点二次函数的顶点在x轴上Δ=0；
②二次函数(的顶点在y轴上二次函数的图象关于y轴对称；
③二次函数(经过原点，则。
（11）二次函数的解析式：
①一般式：(，用于已知三点。
②顶点式：，用于已知顶点坐标或值或对称轴。
（3）交点式：，其中、是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。
5、二次函数的值（10分）
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得大值（或小值），即当时，。
如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。
6、二次函数的性质
二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0y
0xy0x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有低点，当x=时，y有小值，
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；
（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；
（4）抛物线有高点，当x=时，y有大值，
7、二次函数中，的含义：
表示开口方向：>0时，抛物线开口向上
<0时，抛物线开口向下
与对称轴有关：对称轴为x=
表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）
8、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。
当>0时，图像与x轴有两个交点；
当=0时，图像与x轴有一个交点；
当<0时，图像与x轴没有交点。
