2020年国家公务员考试速解牛吃草问题
一、牛吃草模型
【例1】一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛10头,20天把草吃尽,同样一片牧场,牛15头,10天把草吃尽。如果有牛25头,几天能把草吃尽?
【例2】牧场上长满牧草,秋天来了,每天牧草都均匀枯萎,这片牧场可供10头牛吃8天草,可供15头牛吃6天。可供25头牛吃多少天?
这些题目中有牛有草，牛在吃草前，草地上就有固定量的草且又出现了一大段以排比句形式告诉我们的已知条件，像这样的题型我们统称为“牛吃草”问题，当然还有一些题目中不涉及牛和草，但也属于这类问题的变形，后面我们会展示出具体的练习题，接下来我们看一看对于这样的题我们应该怎么解决他呢?
二、解题技巧
1、追及模型解题
我们一起来分析一下例1这道题。牧场上原有的草量是一定的，草每天生长，牛每天来吃。要想把草吃完那么必须满足牛吃草的速度>草长的速度，我们很容易发现，其实牛吃草问题就是行程问题中的追及问题，也就是牛在追着草吃，既然是行程问题中的追及问题，我们马上就想到公式：距离和=速度差X时间，我们来看一看，这里的距离和就相当于原有草量，速度差也就是牛吃草的速度-草生长的速度，分析题目可知无论供几头牛吃多少天，原始草量都是不变的，根据条件我们即能列方程进行求解。
【解析】假设每头牛每天吃一份量的草，草生长的速度为x，吃光草时间为t，根据题意可得(10-x)×20=(15-x)×10=(25-x)×t 解出 :t=5天。
根据这道例题我们也总结出了面对追及型的牛吃草问题我们的答题思路：设每头牛每天吃1份草，牛的头数为N，草生长速度为X，原有草量为M，即得公式M=(N-X)*T，根据原有草量为定值列出方程组求解即可。
2、相遇型牛吃草问题
我们来看一下例2这道题和例1有什么区别，这里面的草不仅不生长了，还在以一定的速度减少，牛在吃草，草在以相反方向减少,这个就很像我们行程问题中的相遇问题,公式：距离差=速度和X时间，还是以上的思路，无论怎么变，原始草量都是不变的，我们即可列出方程求解。
【解析】假设每头牛每天吃一份量的草，草生长的速度为x，可供25头牛吃草时间为t，根据题意可得(10+x)×8=(15+x)×6=(25+x)×t 解出 :t=4天。
根据这个例题我们也总结出相遇型牛吃草问题的常用公式M=(N+X)*T遇到此类问题时同样找出不变量列方程组即可求解。
3、多个草场牛吃草问题
【例3】有一草地，40亩草地的草，20只羊18天可以吃完，25亩草地的草，12只羊30天可以吃完。问60亩草地的草，多少只羊9天可以吃完?
这道题跟前两题有些不一样，他涉及了很多草场，原始草量也不一样，不符合我们牛吃草的模型也办法直接列方程组进行求解，那我们来思考一下是否可以给它改改条件但是不影响题目中的已知条件还可以让我们用牛吃草的模型解决问题，既然它原始草量不一样我们可不可以给它们扩大相应的倍数即使他们的原始草量相同，对所有草量用小公倍数进行统一。取40,25,60的小公倍数600.题干就等同于600亩的草量300只羊吃18天，288只羊吃30天，问供多少只羊吃9天?现在就变成了我们标准的牛吃草模型，设草的生长速度为x，600亩可以让n只羊吃9天，根据原始草量相同列出方程：(300-x)×18=(288-x)×30=(n-x)×9 求得n=330，所以60亩草地9天吃完需要羊数量为330÷10=33。
面对此类题目时我们通常取操场草量的小公倍数，把它变成标准的牛吃草问题再进行求解，这里要注意的是，随着草场扩大，牛的头数也要进行相应倍数的扩大，否则则改变了题目中的已知条件。
当然在考试中一些题还是会以其他的方式出现，迷惑我们，但它也属于牛吃草问题，我们看几道练习题。
【练习1】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了?
A.2
B.1.8
C.1.6
D.0.8
【答案】D。解析：此题虽未体现出牛与草的字眼，但原有人数不变，又以排比形式告诉我们已知条件符合牛吃草模型，即可根据上述公式列方程求解，设开两个收银台付款t小时就没有顾客了，则根据原有人数相等可列关系式(80-60)×4=(80×2-60)×t，解得t=0.8。
【练习2】某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
A.25
B.30
C.35
D.40
【答案】B。解析：符合牛吃草模型，根据原来沉积的泥沙不变即可列方程求解，设该河段河沙沉积速度为x，则可以列出方程(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30，因此要想河沙不被开采枯竭，开采速度必须≤沉积速度，取极值也就是当二者速度相等时，即沉积速度为30，又因为此类问题我们通常设“牛每天吃一份量的草”对应到这道题中即每天沉积一份量的泥，因此得到结果多供30人开采。
其实牛吃草问题并不难，只要找到不变量，列出方程组即可进行求解。
公务员之路，从华图起步。
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【例1】一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛10头,20天把草吃尽,同样一片牧场,牛15头,10天把草吃尽。如果有牛25头,几天能把草吃尽?
【例2】牧场上长满牧草,秋天来了,每天牧草都均匀枯萎,这片牧场可供10头牛吃8天草,可供15头牛吃6天。可供25头牛吃多少天?
这些题目中有牛有草，牛在吃草前，草地上就有固定量的草且又出现了一大段以排比句形式告诉我们的已知条件，像这样的题型我们统称为“牛吃草”问题，当然还有一些题目中不涉及牛和草，但也属于这类问题的变形，后面我们会展示出具体的练习题，接下来我们看一看对于这样的题我们应该怎么解决他呢?
二、解题技巧
1、追及模型解题
我们一起来分析一下例1这道题。牧场上原有的草量是一定的，草每天生长，牛每天来吃。要想把草吃完那么必须满足牛吃草的速度>草长的速度，我们很容易发现，其实牛吃草问题就是行程问题中的追及问题，也就是牛在追着草吃，既然是行程问题中的追及问题，我们马上就想到公式：距离和=速度差X时间，我们来看一看，这里的距离和就相当于原有草量，速度差也就是牛吃草的速度-草生长的速度，分析题目可知无论供几头牛吃多少天，原始草量都是不变的，根据条件我们即能列方程进行求解。
【解析】假设每头牛每天吃一份量的草，草生长的速度为x，吃光草时间为t，根据题意可得(10-x)×20=(15-x)×10=(25-x)×t 解出 :t=5天。
根据这道例题我们也总结出了面对追及型的牛吃草问题我们的答题思路：设每头牛每天吃1份草，牛的头数为N，草生长速度为X，原有草量为M，即得公式M=(N-X)*T，根据原有草量为定值列出方程组求解即可。
2、相遇型牛吃草问题
我们来看一下例2这道题和例1有什么区别，这里面的草不仅不生长了，还在以一定的速度减少，牛在吃草，草在以相反方向减少,这个就很像我们行程问题中的相遇问题,公式：距离差=速度和X时间，还是以上的思路，无论怎么变，原始草量都是不变的，我们即可列出方程求解。
【解析】假设每头牛每天吃一份量的草，草生长的速度为x，可供25头牛吃草时间为t，根据题意可得(10+x)×8=(15+x)×6=(25+x)×t 解出 :t=4天。
根据这个例题我们也总结出相遇型牛吃草问题的常用公式M=(N+X)*T遇到此类问题时同样找出不变量列方程组即可求解。
3、多个草场牛吃草问题
【例3】有一草地，40亩草地的草，20只羊18天可以吃完，25亩草地的草，12只羊30天可以吃完。问60亩草地的草，多少只羊9天可以吃完?
这道题跟前两题有些不一样，他涉及了很多草场，原始草量也不一样，不符合我们牛吃草的模型也办法直接列方程组进行求解，那我们来思考一下是否可以给它改改条件但是不影响题目中的已知条件还可以让我们用牛吃草的模型解决问题，既然它原始草量不一样我们可不可以给它们扩大相应的倍数即使他们的原始草量相同，对所有草量用小公倍数进行统一。取40,25,60的小公倍数600.题干就等同于600亩的草量300只羊吃18天，288只羊吃30天，问供多少只羊吃9天?现在就变成了我们标准的牛吃草模型，设草的生长速度为x，600亩可以让n只羊吃9天，根据原始草量相同列出方程：(300-x)×18=(288-x)×30=(n-x)×9 求得n=330，所以60亩草地9天吃完需要羊数量为330÷10=33。
面对此类题目时我们通常取操场草量的小公倍数，把它变成标准的牛吃草问题再进行求解，这里要注意的是，随着草场扩大，牛的头数也要进行相应倍数的扩大，否则则改变了题目中的已知条件。
当然在考试中一些题还是会以其他的方式出现，迷惑我们，但它也属于牛吃草问题，我们看几道练习题。
【练习1】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了?
A.2
B.1.8
C.1.6
D.0.8
【答案】D。解析：此题虽未体现出牛与草的字眼，但原有人数不变，又以排比形式告诉我们已知条件符合牛吃草模型，即可根据上述公式列方程求解，设开两个收银台付款t小时就没有顾客了，则根据原有人数相等可列关系式(80-60)×4=(80×2-60)×t，解得t=0.8。
【练习2】某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)
A.25
B.30
C.35
D.40
【答案】B。解析：符合牛吃草模型，根据原来沉积的泥沙不变即可列方程求解，设该河段河沙沉积速度为x，则可以列出方程(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30，因此要想河沙不被开采枯竭，开采速度必须≤沉积速度，取极值也就是当二者速度相等时，即沉积速度为30，又因为此类问题我们通常设“牛每天吃一份量的草”对应到这道题中即每天沉积一份量的泥，因此得到结果多供30人开采。
其实牛吃草问题并不难，只要找到不变量，列出方程组即可进行求解。
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