南通崇川区三中附近的小学数学课外辅导强化班
鸡兔同笼问题
【含义】
这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。
【数量关系】
鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）
第二鸡兔同笼问题：
假设全都是鸡，则有
兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
假设全都是兔，则有
鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）
【解题思路和方法】
解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。
例1
长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？
解
假设35只全为兔，则
鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔数＝35－23＝12（只）
也可以先假设35只全为鸡，则
兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
鸡数＝35－12＝23（只）
答：有鸡23只，有兔12只。
例2
2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？
解
此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有
白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）
答：白菜地有10亩。
例3
李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？
解
此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有
作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日记本数＝45－15＝30（本）
答：作业本有15本，日记本有30本。
例4
（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
解
假设100只全都是鸡，则有
兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
鸡数＝100－20＝80（只）
答：有鸡80只，有兔20只。
例5
有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？
解
假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚
（3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
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方阵问题
【含义】
将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
【数量关系】
（1）方阵每边人数与四周人数的关系：
四周人数＝（每边人数－1）×4
每边人数＝四周人数÷4＋1
（2）方阵总人数的求法：
实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数
空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?
内边人数＝外边人数－层数×2
（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：
总人数＝（每边人数－层数）×层数×4
【解题思路和方法】
方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1
在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？
解
22×22＝484（人）
答：参加体操表演的同学一共有484人。
例2
有一个3层中空方阵，外边一层有10人，求全方阵的人数。
解
10－（10－3×2）?
＝84（人）
答：全方阵84人。
例3
有一队学生，排成一个中空方阵，外层人数是52人，内层人数是28人，这队学生共多少人？
解
（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）
（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）
（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）
答：这队学生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？
解
（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）
（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）
（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）
答：棋子有40只。
例5
有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？
解
种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）
第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）
答：这个三角形树林一共有15棵树。
