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直线习题课
【学习目标】
1．进一步掌握直线方程的几种形式及求法。
2．理解直线与直线之间的关系。
3．进一步巩固直线的相关概念及运算。
【知识整理】
一.倾斜角和斜率
1.倾斜角
（1）定义： （2）倾斜角的范围。
2、直线的斜率：
（1）定义： （2）斜率公式：
（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
二.直线方程的几种形式:
(1)点方向式 (2)点法向式
(3)点斜式 (4) 斜截式
(5) 截距式 （6）一般式
三．直线与直线的位置关系：
（1）相交；
（2）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（3）重合且。
另:两直线的斜率相等是两直线平行的________________条件.
提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？
（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；
（3）直线与直线垂直。
四．对称问题
1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0),曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0.
2.设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则x′、y′可由方程组来确定.
3.直线关于直线对称直线l1:a1x+b1y+c1=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称直线l2：(1)过直线l1和l的交点；(2)l1到l的角等于l到l2的角.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；
(2)点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y);
(3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);
(4)点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x)；
(5)点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
【例题解析】
【题目1】设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为α.
（1）试将α表示为B的函数；
（2）若＜α＜，试求B的取值范围；
（3）若B∈（－∞，－2）∪（1，+∞），求α的取值范围.
【题目2】已知点P（1，－1），直线l的方程为x－2y+1=0.求经过点P，且倾斜角为直线l的倾斜角一半的直线方程.
【题目3】某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|小，请你确定A、B两点的佳位置（不要求作近似计算）.
【题目4】．设直线 ，点关于直线的对称点为。
（1）求点的坐标；
（2）若光线从点出发，经过直线反射，且反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程。
【题目5】已知直线与直线平行，并与两坐标轴所构成的三角形面积为12，且此三角形在第三象限，求直线的方程。
【课堂小结】
1.注意斜率和倾斜角的区别，了解斜率的图象.
2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是基本的，其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解.
3.如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程是本节的主要问题；通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合.
【学习目标】
1．进一步掌握直线方程的几种形式及求法。
2．理解直线与直线之间的关系。
3．进一步巩固直线的相关概念及运算。
【知识整理】
一.倾斜角和斜率
1.倾斜角
（1）定义： （2）倾斜角的范围。
2、直线的斜率：
（1）定义： （2）斜率公式：
（3）直线的方向向量，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？
二.直线方程的几种形式:
(1)点方向式 (2)点法向式
(3)点斜式 (4) 斜截式
(5) 截距式 （6）一般式
三．直线与直线的位置关系：
（1）相交；
（2）平行（斜率）且（在轴上截距）；
（3）重合且。
另:两直线的斜率相等是两直线平行的________________条件.
提醒：（1） 、、仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件！为什么？
（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；
（3）直线与直线垂直。
四．对称问题
1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0),曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0.
2.设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P′(x′,y′),则x′、y′可由方程组来确定.
3.直线关于直线对称直线l1:a1x+b1y+c1=0关于直线l:Ax+By+C=0的对称直线l2：(1)过直线l1和l的交点；(2)l1到l的角等于l到l2的角.
4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y)；
(2)点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y);
(3)点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y);
(4)点(x,y)关于直线x-y=0的对称点为(y,x)；
(5)点(x,y)关于直线x+y=0的对称点为(-y,-x).
【例题解析】
【题目1】设直线l的方程是2x+By－1=0，倾斜角为α.
（1）试将α表示为B的函数；
（2）若＜α＜，试求B的取值范围；
（3）若B∈（－∞，－2）∪（1，+∞），求α的取值范围.
【题目2】已知点P（1，－1），直线l的方程为x－2y+1=0.求经过点P，且倾斜角为直线l的倾斜角一半的直线方程.
【题目3】某市现有自市中心O通往正西和东北方向的两条主要公路，为了解决交通拥挤问题，市政府决定修一条环城路，分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点，使环城公路在A、B间为线段，要求AB环城路段与中心O的距离为10 km，且使A、B间的距离|AB|小，请你确定A、B两点的佳位置（不要求作近似计算）.
【题目4】．设直线 ，点关于直线的对称点为。
（1）求点的坐标；
（2）若光线从点出发，经过直线反射，且反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程。
【题目5】已知直线与直线平行，并与两坐标轴所构成的三角形面积为12，且此三角形在第三象限，求直线的方程。
【课堂小结】
1.注意斜率和倾斜角的区别，了解斜率的图象.
2.直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，其中点斜式是基本的，其他形式的方程皆可由它推导.直线方程的特殊形式都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，因此应用时要注意它们各自适用的范围，以避免漏解.
3.如何建立平面坐标系内满足一定条件的直线的方程是本节的主要问题；通用的解决方法是待定系数法；根据所知条件选择恰当的直线方程的形式是解题的关键；克服各类方程局限性的手段是分类讨论；开阔思路分析问题的措施是数形结合.
