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数形结合思想
【知识要点概述】
数与形是数学中两个较古老、较基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
【解题方法指导】
1．转换数与形的三条途径：
通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
【例题讲解】
例一：（1）已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 。
（2）解方程：
例二（1）过点作直线，使坐标原点到其距离等于的直线有 条。
（2）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的较小值。
（3）已知，，且，求的较大值。
例三（1）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
（2）关于的二次方程中，、、均是复数，且.设这个方程的两个根为、，且满足.求的较大值和较小值
【知识要点概述】
数与形是数学中两个较古老、较基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。
【解题方法指导】
1．转换数与形的三条途径：
通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。
构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：
“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。
“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。
【例题讲解】
例一：（1）已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 。
（2）解方程：
例二（1）过点作直线，使坐标原点到其距离等于的直线有 条。
（2）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的较小值。
（3）已知，，且，求的较大值。
例三（1）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
（2）关于的二次方程中，、、均是复数，且.设这个方程的两个根为、，且满足.求的较大值和较小值
